Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
страница2/3
Дата конвертации17.02.2013
Размер0.65 Mb.
ТипМетодические указания
источник
1   2   3
Тема: «Элементы теории поля»

^ Краткая теория и методические указания

к выполнению контрольных заданий


  1. Скалярное поле, градиент, производная по направлению.

Задана функция в области D (задано скалярное поле в области D) и точка в области D.

    1. Градиентом функции называется вектор ; – частные производные функции z по x и по y. Направление вектора градиента в точке – это направление наискорейшего возрастания поля в этой точке, а модуль вектора градиента – величина максимальной скорости возрастания. Модуль (длина) градиента . Направляющие косинусы градиента , , где и – углы вектора с осями х и у.

    2. Производная от функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле , где – значения частных производных в точке А; – направляющие косинусы вектора . Модуль вектора . Значение – это скорость изменения поля в направлении вектора , если > 0, то поле возрастает, если < 0, то поле убывает.

2) Криволинейные интегралы вдоль кривой от точки до точки .

2.1) Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода) применяется, в частности, для

вычисления массы или заряда, распределенных по кривой с плотностью



2.2) Криволинейный интеграл по координатам (II рода) применяется, в частности, для

расчета работы силового поля при перемещении мате-

риальной точки по кривой



2.3) Вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных ин-

теграллов.

Дифференциал длины дуги ;

2.3.1) Пусть кривая задана параметрически

Тогда ,





,

где и - значения параметра, соответствующие точкам и линии .

2.3.2) Пусть уравнение линии задано .

Тогда .



,

где и - абсциссы точек и линии .

2.3.3) Криволинейный интеграл по координатам



можно записать в виде криволинейного интеграла по длине дуги, так как

, , где и - косинусы углов вектора, касательно-

го к линии , соответственно с осью и осью (направляющие косинусы).

2.3.4) Криволинейные интегралы от функции 3-х переменных по пространственной линии.

Тогда - плотность массы (заряда) и вектор силового поля

являются функциями трех переменных .



Вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных интег-

ралов.

Если кривая задана параметрическими уравнениями: , то

, ,





,

где и значения параметра , соответствующее начальной и конечной точ-

кам кривой .

3. Поверхностные интегралы.

3.1. Поверхностный интеграл по площади (I рода).

Применяется, в частности, для вычисления суммарных массы или заряда, распреде-

ленных по поверхности с плотностью .



- дифференциал площади поверхности .

3.2. Поверхностный интеграл по выбранной стороне поверхности ( рода)



Применяется, в частности, для вычисления потока жидкости через поверхность ,

если скорость потока



, где - единичный вектор нормали к поверхности ,

, - углы нормали к поверхности с осями

соответственно.

3.3. Вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойных интегралов

3.3.1 Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверхнос-

ти на плоскость , то или .

Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверхнос-

ти на плоскость , то или .

Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверх-

ности на плоскость , то или .

Тогда можно вычислить с помощью двойных интегралов.



или

или

Для вычисления поверхностного интеграла рода углы считаются

острыми.

3.3.2 При вычислении поверхностных интегралов II рода различают стороны поверхно-

сти в зависимости от направления нормали к поверхности; , , -

направляющие косинусы нормали, проведенной к той стороне поверхности, по

которой проводится интегрирование

;

Можно записать так:



Обычно вычисление сводится к вычислению суммы двойных интегралов



Обозначение «» означает, что берем знак «+», если нормаль к поверхности

образует острый угол с соответствующей осью, знак «-», если угол больше

( для - с оью , для - с осью , для - с осью ).

4)Элементы векторного анализа.

Даны: векторное поле , поверхность и замкнутый контур .

4.1) Поток вектора через поверхность в направлении нормали к поверхности есть поверхностный интеграл

4.1.1), где – углы нормали с осями . Поверхностный интеграл сводится к вычислению двойных интегралов по областям – проекциям поверхности на плоскости .


4.1.2) . «» означает, что знак «+», если нормаль к образует острый угол с соответствующей осью, знак «–», если угол больше 90º ( - с осью х, - с осью у, - с осью z).

4.2) Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру – это криволинейный интеграл.

4.2.1) . Он вычисляется по правилу 2).

4.2.2) Ротор векторного поля, характеризующий завихрение его силовых линий, вычисляется с помощью определителя: .

4.2.3) Формула Стокса. Поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции вектора по границе этой поверхности. .

.

Направление обхода контура и направление нормали к поверхности должны быть согласованы так – если идти по контуру в направлении интегрирования так, что область внутри контура остается слева, то направление от ног к голове совпадет с направлением нормали.

4.3) Дивергенция (расходимость) поля есть .

4.3.1) Теорема Гаусса-Остроградского. Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

4.3.2) .

5)Соленоидальное и потенциальное поля.

Дано векторное поле .

5.1) Если , то поле называется соленоидальным (трубчатым).

5.2) Если , то поле называется потенциальным.

Тогда , - полный дифференциал скалярного поля . Потенциал , (5.3)

M

M0

x


z

y

где – фиксированная точка в рассматриваемой области. Формула (5.3) получается в результате вычисления интеграла по ломаной (рис. 1), звенья которой параллельны осям координат.


M2

M1



Примеры к решению контрольных заданий

Пример 1: Дана функция , вектор и точка .

  1. Найдем градиент в точке . Воспользуемся 1.1)

; ; . Значения и в точке А получим, подставив координаты точки А. ; .

, т.е. ; направляющие косинусы градиента ; .


  1. Найдём производную в точке А по направлению вектора . Пользуемся 1.2)

, где и – это направляющие косинусы вектора . ; ; ;

Вывод: По направлению вектора возрастает со скоростью 7,24 (меньше, чем по направлению градиента.


Пример 2.

Дана кривая .

Вычислить массу отрезка кривой от точки до точки , если зада-

на плотность . .

Вычислить работу силы при перемещении точки по

кривой от точки до точки . .

а) - эллипс, заданный пераметрически от точки до точки

. Найдем значение , соответствующее точке ;

Найдем значение , соответствующее точке


на : ,

(по 2.3.1)

Пусть плотность массы ;

;

Подставим вместо и их выражения через и



Для вычисления этого определенного интеграла вспомним формулы:

, ,

Тогда



Сделаем замену переменной . Тогда ,т.е

при ; при ;

Получим



Сделаем замену переменной . Тогда т.е ;

При , при ;

Получаем

. Ответ ;

Найти работу силы



Подставим вместо , их выражения через и



(Использовали формулу: )


Пример 3. Вычислить заряд с плотностью , распределенный по

поверхности , отсекаемой координатами плоскостями.

Решение. Заряд

Представим уравнение поверхности в виде . Тогда частные производные

и .

Подставим вместо его выражение из уравнения поверхности .

- проекция поверхности на плоскость - это треугольник .

Уравнение линии : , т.е. .

Координаты точки : ; ;


=

=

Ответ: суммарный заряд .


Пример 4 : Даны векторное поле и плоскость (р), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), – контур, ограничивающий , – нормаль к , направленная вне пирамиды .


1


1


1



С

z



а) вычислить поток векторного поля через поверхность (т.е. АВС) в направлении нормали .





; По формуле 3.1.1 поток векторного поля

х









0

у

А

В

D

. Знаки здесь определяются наглядно. Существует формула для единичного нормального вектора к поверхности . .

В данном случае ; по условию задачи – внешняя, следовательно и в формуле, определяющей надо взять знак «+». Тогда . . – элемент поверхности АВС. Перейдем в правой части равенства от поверхностного интеграла к двойному: . Заменив z из уравнения поверхности АВС: , получим .


б) Вычислить циркуляцию по замкнутому контуру (формулы 4.2 и 2.3.2). Контур составлен из отрезков АВ, ВС и СА, направление обхода указано стрелками. .

АВ: .

Выразим , .

ВС: .

Выразим , .

СА: .

Выразим , .



Вычислим циркуляцию по формуле Стокса ; S – поверхность АВС: . Находим (мы нашли раньше, что ).

. Перейдем в правой части к двойному интегралу по . ; .

Итак, циркуляция вектора по замкнутому контуру , найденная двумя способами, равна .

в) Определить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертёж.

Решение: Используем формулы 4.1.1), 4.1.2), 4.3.1).


z

0

Dxz

Dyz

n2

n3

1

1

(?)

1) Найдем поток
1   2   3



Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов-заочников
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы