Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
страница3/3
Дата конвертации17.02.2013
Размер0.65 Mb.
ТипМетодические указания
источник
1   2   3
вектора как сумму потоков через грани . Направление внешних нормалей к граням указано стрелками на чертеже. .

y



Dxy

A



n1

1
т.к. направлена в сторону . .


x
;

т.к. направлена в сторону , то

;

(т.к. направлена в сторону ),

; ;

Поток через поверхность АСВ был найден в задаче 3а) .

Поток через полную поверхность пирамиды .

Найдем поток П по теореме Остроградского , где – внешняя нормаль к поверхности. Находим . По формуле 4.3.2) получаем, имея .

Вывод: Поток вектора через полную поверхность , полученный двумя способами, равен .

Пример 5: Дано поле . Является ли оно соленоидальным или потенциальным?

а) , следовательно поле не является соленоидальным.

б)

.

Следовательно, поле потенциальное. Потенциал поля находим по формуле (5.3)



Задания к контрольной работе № 9 для ЗРФ

5 контрольных заданий:

  1. Дана функция, точка и вектор . Найти:

1) в точке ;

2) производную в точке по направлению вектора .

2. Дана кривая . С помощью криволинейных интегралов :

а) вычислить массу отрезка кривой от точки до точки , если

задана плотность .

б) вычислить работу силы при перемещении точки по кри-

вой от точки до точки .

3. На поверхности, отсекаемой координатными плоскостями, распределен электричес-

кий заряд с плотностью . Вычислить суммарный заряд поверхности.

4.Даны векторное поле и плоскость (р), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), – контур, ограничивающий ; – нормаль к , направленная вне пирамиды . Требуется вычислить:

    1. Поток вектора через поверхность в направлении нормали ;

    2. Циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью .

    3. Поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Гаусса-Остроградского. Сделать чертёж.

5.Проверить, является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.




вар-та

Задания






1)

2) : окружность . ; от , против часовой стрелки до ;

; .

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : отрезок прямой ; ; ; ;

.

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : отрезок прямой ; , ;

; .

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : парабола ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : эллипс , ; от до против часовой стрелки

; .

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : отрезок прямой ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : кривая ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : отрезок прямой ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : отрезок прямой ; , ; ;

.

3) ; .

4) .

5) .



1)

2) : кривая ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .






Контрольная работа № 10 для ЗРФ

Тема: «Ряды»

Краткая теория.


  1. Числовые ряды

1.0) , Число – общий или n-ый член ряда.

1.1) Сумма ряда. Пусть , . называется n-ой частной суммой. Если существует , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. Иначе ряд – расходящийся.

1.2); – остаток ряда. Если , то .

1.3) Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд 1.0) сходится, то . Применяется для доказательства расходимости ряда, таким образом:

1.3.1) Если , то ряд расходится.

1.4) Знакоположительные ряды: , .

Достаточные признаки сходимости:

1.4.1) Признаки сравнения.

Даны ряды (1) и (2).

1.4.1.2 – 1.4.1.3) Пусть , начиная с , где N = любое натуральное число.

Если ряд сходится, то ряд сходится.

Если ряд расходится, то ряд расходится.

1.4.1.4.) Если , то ряды и сходятся и расходятся одновременно.

1.4.2) Интегральный признак Коши.

Дан ряд , . Пусть – монотонно убывающая функция, т.е. , тогда если: а) сходится, то сходится; б) расходится, торасходится.

1.4.3) Признак Даламбера.

Дан ряд . Пусть .

При .

1.4.4) Радикальный признак Коши.

Дан ряд . Пусть . При .

1.5) Знакочередующиеся ряды.

1.5.0) Ряд , где .

1.5.1) Признак Лейбница.

Пусть а) , (– монотонно убывают); б) , тогда ряд сходится и его сумма .

1.5.2) Следствие: Остаток ряда . Если ряд сходится, то . Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого члена остатка.

1.6) Знакопеременный ряд. , где имеют разные знаки.

1.7) Если ряд из абсолютных величин членов ряда сходится, то ряд сходится абсолютно.

1.8) Если ряд расходится, а ряд сходится, то говорят, что ряд сходится условно.

1.9) Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов, поэтому, если для знакочередующегося ряда ряд из абсолютных величин расходится, то надо применить признак Лейбница, чтобы проверить, сходится ли исходный ряд условно.

2. Степенные ряды

2.1) ; Числа – коэффициенты ряда. При ряд сходится, называется центром сходимости.

2.1.1) При имеем ряд по степеням х: .

Заменой ряд 2.1) приводится к виду 2.1.1)

2.2) Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что при всех х, таких, что степенной ряд абсолютно сходится, а для всех х, таких, что степенной ряд расходится. Интервал называется интервалом сходимости. При и ряд может сходиться или расходиться. Это необходимо исследовать по признакам 1.3.1), 1.4.1), 1.4.2). Для рядов, расходящихся при всех х, кроме , радиус сходимости , а для рядов, сходящихся при всех х, радиус сходимости .

2.3) План нахождения интервала сходимости и радиуса сходимости .

2.3.0) Дан ряд

2.3.1) Составим ряд из абсолютных величин членов ряда Интервалы сходимости рядов 2.3.0) и 2.3.1) одинаковы.

2.3.2) К ряду 2.3.1), все члены которого положительны, можно применить признак Даламбера или радикальный признак Коши.

Применение признака Даламбера: . В точках х, в которых этот предел меньше 1, ряд сходится, а в которых он больше 1, ряд расходится, значение , при котором это предел равен 1, является значением радиуса сходимости . Вид предела для определения интервала сходимости при применении радикального признака Коши .

2.3.3) Исследуем сходимость числовых рядов на границах интервала сходимости по признакам 1.3.1), 1.4.1) или 1.4.2).


3. Разложение функции в степенные ряды.

3.1) Ряд Тейлора в окрестности



– значение n-ой производной функции в точке . Если , то разложение по степеням х называется рядом Маклорена.

Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от х,



Ряд

Интервал

сходимости




1







2







3







4







5







6







7







8







9







10









4. Применение рядов Тейлора

4.1) Вычисление определённых интегралов с помощью разложения функции в степенной ряд и затем интегрирования его почленно.

4.2) Решение дифференциальных уравнений.

Задано дифференциальное уравнение и начальные условия в точке х = 0. Предположим, что в окрестности х = 0 решение уравнения можно разложить в степенной ряд

а) Этот ряд можно почленно дифференцировать столько, сколько надо, внутри интервала сходимости.

или б) Можно продифференцировать уравнение несколько раз, рассматривая у как функцию от х.

5. Разложение функции в ряд Фурье

5.1) Если задана на , то ряд Фурье для :

, где .

Сумма ряда Фурье периодическая функция с периодом .

5.2) Если – четная функция, то , где .

5.3) Если – нечетная функция, то , где .

Примеры для решения контрольной работы № 10


Контрольная работа содержит 5 контрольных заданий.

Дадим 2 примера контрольного задания №1.

Пример 1: Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Применим признак сравнения 1.4.1.4)

. Возьмем , тогда . Рассмотрим ряд . Применим интегральный признак 1.4.2) , – монотонно убывает. . Интеграл сходится, следовательно по 1.4.2), ряд сходится, а, значит, ряд сходится по 1.4.1.4)

Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера 1.7) ; .

По определению ; ; .



q = 0, q < 1 следовательно, ряд сходится.


Пример контрольного задания № 2. Найти интервал сходимости степенного ряда ;

Решение. Применим план нахождения интервала сходимости 2.3)

  1. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

, .

  1. Применим признак Даламбера к полученному ряду

, .

Ряд сходится при , т.е. , или . Радиус сходимости .

  1. Исследуем сходимость числового ряда на границах интервала при и .

а) Получим числовой ряд . Общий член этого ряда . Применим необходимый признак сходимости 1.3.1). ? ряд расходится.

б) . Получим числовой ряд . Это знакочередующийся ряд. Абсолютная величина общего члена ряда . По необходимому признаку сходимости 1.3.1) ряд расходится.

Итак, на границах интервала исходный ряд расходится.

Вывод. Интервал сходимости степенного ряда .


Пример контрольного задания № 3. Вычислить определенный интеграл , , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав почленно.

Решение: Разложим в ряд по таблице 3.2) для .

;



Мы получили знакочередующийся ряд. Если ограничиться четырьмя членами, то по следствию 1.5.2) из признака Лейбница остаток ряда , т.е. точность .

Итак, с точностью .


Пример контрольного задания № 4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .



Ищем решение в виде ряда Маклорена в окрестности

Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая у как функцию от х.

, и т.д. Возьмем в самом уравнении и во всех равенствах и принимая во внимание , найдем , , , подставив эти коэффициенты в ряд Маклорена, получим решение

Пример контрольного задания № 5.

Разложить в ряд Фурье в интервале .

;

;

;

.

Тогда .


Задания к контрольной работе № 10 для ЗРФ

  1. Исследовать сходимость числового ряда .

  2. Найти интервал сходимости степенного ряда .

  3. Вычислить определенный интеграл , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.

  4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

  5. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .






вар-та

Задания




1

1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)

2

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

3

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

4

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

5

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

6

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

7

1) ; 2) ; 3), ; 4); 5)

8

1) ; 2) ; 3), ; 4); 5)

9

1) ; 2) ; 3), ; 4) ; 5)

10

1) ; 2) ; 3), ; 4) ; 5)



Литература

  1. Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.

  2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.

  3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.

  4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.

  5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.

  6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.

  7. Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.


Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).




1   2   3



Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов-заочников
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы