Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
страница1/2
Дата конвертации17.02.2013
Размер486.43 Kb.
ТипМетодические указания
источник
  1   2





^ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ


Кафедра Высшей математики и математического моделирования


Методические указания и задания

к контрольным работам студентов

^ II курса заочного отделения

для ЗРТ, ЗРГЭ


Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.


Москва,

2006 г.




Контрольная работа № 7

Тема: «Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных»


Краткие теоретические сведения.

  1. Частные производные первого порядка. Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).

Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

Пример, ,

; ; ;

; . .

  1. Градиент скалярного поля вектор с координатами . Этот вектор направлен по нормали к линии уровня и характеризует направление наибольшего возрастания функции z.

.

Пример 2: Дана функция . Найти в точке .

; ; ; ;

(использовалась формула ).

Производная по заданному направлению вектора находятся по формуле , где – направляющие косинусы вектора , .

Пример: Дана функция . Найти производную по направлению вектора в точке .

; ;

; (использовалась формула ).

; ;

.

Задания к контрольной работе № 7


Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

Задание 2. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке А; 2) производную по направлению вектора в точке А.




вар-та

Задания

1

1) ;

2) .

2

1) ;

2) .

3

1) ;

2) .

4

1) ;

2) .

5

1) ;

2) .

6

1) ;

2) .

7

1) ;

2) .

8

1) ;

2) .

9

1) ;

2) .

10

1) ;

2) .



Контрольная работа № 8

Тема: «Дифференциальные уравнения»


Краткая теория и методические указания для решения:


  1. Дифференциальные уравнения I порядка: или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

    1. Уравнения с разделяющимися переменными

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

    1. Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1) . Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .

  1. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений вида , где и – произвольные постоянные.

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка



Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б) , два равных действительных корня: = , ;

в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .

и – корни характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , или .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , или .

в) .

2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).

а) , , ;

б) или .

Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при .

2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.


Примеры

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а) ; б) ; в) ; г) ;

Решение .

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка 1.2. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).

Решение. а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .

б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .

Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение:



.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества

. Итак, .

в) Общее решение: .

г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3):

. Подставим начальные условия:

. Частное решение: при ; .

Варианты контрольной работы

Контрольная работа содержит 2 задания:

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.

  2. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .




.

вар-та

Задания




1

1) ; 2)

2

1) ; 2)

3

1) ; 2)

4

1) ; 2)

5

1) ; 2)

6

1) ; 2)

7

1) ; 2)

8

1) ; 2)

9

1) ; 2)

10

1) ; 2)



  1   2



Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов-заочников
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы