Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
Дата конвертации17.02.2013
Размер392.02 Kb.
ТипМетодические указания
источник





^ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ


Кафедра Высшей математики и математического моделирования


Методические указания и задания

к контрольным работам студентов

^ II курса заочного отделения

для ЗРМ, ЗРМЭ, ЗМГГ, ЗГЭК, ЗРН


Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.



Москва,

2006 г.

Контрольная работа № 7


Тема: «Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных»


Краткие теоретические сведения.


  1. Частные производные первого порядка. Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).

Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

Пример, ,

; ; ;

; . .

  1. Градиент скалярного поля вектор с координатами . Этот вектор направлен по нормали к линии уровня и характеризует направление наибольшего возрастания функции z.

.

Пример 2: Дана функция . Найти в точке .

; ; ; ;

(использовалась формула ).

Производная по заданному направлению вектора находятся по формуле , где – направляющие косинусы вектора , .

Пример: Дана функция . Найти производную по направлению вектора в точке .

; ;

; (использовалась формула ).

; ;

.


Задания к контрольной работе № 7

Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

Задание 2. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке А; 2) производную по направлению вектора в точке А.




вар-та

Задания

1

1) ;

2) .

2

1) ;

2) .

3

1) ;

2) .

4

1) ;

2) .

5

1) ;

2) .

6

1) ;

2) .

7

1) ;

2) .

8

1) ;

2) .

9

1) ;

2) .

10

1) ;

2) .

Контрольная работа № 8

Тема: «Дифференциальные уравнения»


Краткая теория и методические указания для решения:


  1. Дифференциальные уравнения I порядка: или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

    1. Уравнения с разделяющимися переменными

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

    1. Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1) . Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .

  1. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений вида , где и – произвольные постоянные.

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка



Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б) , два равных действительных корня: = , ;

в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .

и – корни характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , или .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , или .

в) .

2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).

а) , , ;

б) или .

Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при .

2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.


Примеры

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а) ; б) ; в) ; г) ;

Решение .

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка 1.2. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).

Решение. а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .

б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .

Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение:



.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества

. Итак, .

в) Общее решение: .

г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3):

. Подставим начальные условия:

. Частное решение: при ; .

Варианты контрольной работы

Контрольная работа содержит 2 задания:

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.

  2. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .




.

вар-та

Задания




1

1) ; 2)

2

1) ; 2)

3

1) ; 2)

4

1) ; 2)

5

1) ; 2)

6

1) ; 2)

7

1) ; 2)

8

1) ; 2)

9

1) ; 2)

10

1) ; 2)



Контрольная работа № 9

Тема: «Теория вероятностей. Случайные события»

Краткая теория и методические указания.

  1. Случайные события

    1. Вероятность события А – это число, характеризующее возможность наступления этого события при некоторых испытаниях (опытах).

    2. Классическое определение вероятности. Вероятность события , где m – число благоприятных для этого события исходов опыта, n – общее число всех элементарных исходов .

    3. События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного события исключает появление другого.

    4. События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

    5. Суммой событий А + В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (или А или В или обоих вместе).

    6. Произведением (пересечением) событий называется событие D, которое состоит в том, что произошли одновременно оба события А и ВА и В).

    7. Событие называется противоположным событию А, если в результате опыта может произойти только одно из событий А или . .

    8. Вероятность суммы событий А и В .

    9. Для несовместных событий А и В : .

1.10 Теорема умножения вероятностей независимых событий .

1.11 Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

1.12 Теорема умножения вероятностей зависимых событий .

1.13 Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти с одной из гипотез . События – несовместные и . Тогда .

Примеры решения контрольных заданий


Задание 1. В урне находится белых и черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну

б) первый шар не возвращают в урну.


Решение: Событие А – два шара разных цветов. Оно является суммой двух событий . Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – белый; – второй шар – черный. Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – черный; – второй шар – белый.


а) Первый шар после вынимания возвращают в урну. При этом события и , а также и являются независимыми (по 1.4). ; .

Найдем вероятность события . Для него опыт – вынимание одного шара из урны. Общее число исходов опыта равно общему числу шаров . Число исходов опыта, благоприятных для события равно числу белых шаров . (по 1.2). Так как вынутый шар возвращают в урну, то рассуждая аналогично, получим ; ; . По формуле (1.10) ; . События и , очевидно, несовместные (см. 1.3). По формуле (1.9) ; .

б) Первый шар после вынимания не возвращают в урну. При этом события и , а также и являются зависимыми (см. 1.4). По (1.12) ; . Вычислим условную вероятность события при условии, что произошло событие и шар не вернули в урну. Осталось в урне шаров, в том числе черных. . Аналогично рассуждая, получим . ; (по 1.12). События и – несовместные .

Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная.

Решение: Надо найти вероятность события А – взятая из второго ящика деталь – стандартная. Опыт здесь производится при условии двух гипотез:

– из первого ящика сначала взяли и перенесли во второй стандартную деталь.

– из первого ящика взяли и перенесли во второй нестандартную деталь.

Будем пользоваться формулой полной вероятности . Найдем вероятности и . Общее количество элементарных исходов опыта для (а также для ) . Количество исходов опыта, благоприятных для равно числу стандартных деталей , а для равно числу нестандартных деталей . ; ; . При выполнении гипотезы , во втором ящике станет деталей, из них стандартных. . При выполнении гипотезы во втором ящике станет деталей, в том числе стандартных. . По (1.13) .


Задания к контрольной работе № 9


Контрольная № 9 содержит 2 задания.

Задание 1. В урне находится а белых и b черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну

б) первый шар не возвращают в урну.


Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная.


Варианты значений параметров контрольных заданий


вар.

Значение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10






2

4

5

5

4

5

6

7

5

4



4

3

6

4

6

3

7

8

9

9



2

3

2

4

3

4

5

4

4

5



3

2

4

2

4

3

4

5

2

2



3

2

3

2

2

3

2

2

3

4



4

4

1

3

4

2

3

4

4

5



Контрольная работа № 10

Тема: «Теория вероятностей. Случайные величины»


Краткая теория и методические указания.


  1. Случайные величины (СВ)

    1. Случайной величиной Х называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений.

    2. Функция распределения . Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом .

1.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале равна .

    1. Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные точки числовой оси.

1.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений




































В первой строке таблицы указаны все значения х ДСВ Х, а во второй строке – вероятности принятия значения . .

1.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой . .

График представляет собой ступенчатую линию.

    1. Непрерывные случайные величины (НСВ). Значениями НСВ могут быть любые точки какого-то интервала на числовой оси.

1.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения , .

1.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле . График НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую. .

1.4.3 Площадь под графиком равна 1, так как .

1.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале равна . При . Вероятность отдельного значения равна нулю.

  1. Числовые характеристики случайных величин




    1. Математическое ожидание – это среднее значение совокупности значений СВ.

Для ДСВ , для НСВ

    1. Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ от своего среднего значения . Пусть .

Для ДСВ: , для НСВ: .

    1. Среднее квадратическое отклонение . – это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения.




  1. Нормальное распределение

Обозначается , где и – параметры нормального распределения, .

    1. Функция плотности вероятностей . определена на всей числовой оси, ; . Функция достигает при максимума, равного и имеет точки перегиба в точках и . При изменении значения график целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения график изменяется так: при увеличении значения в k раз максимальное значение уменьшается в k раз и график выполаживается.

    2. Математическое ожидание , дисперсия .

    3. Функция распределения .

    4. Нормированное нормальное распределение . – функция Гаусса,

– функция Лапласа. . Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для . При этом , .

    1. Вероятность того, что примет значения в интервале .


Примеры решения контрольных заданий


Задание 1. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.



-2

-1

0

1






0,15

0,2

0,4

0,25

Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение .

Решение: Найдём функцию распределения . (по 2.3.2). Рассмотрим в интервалах между значениями .


по (2.2.1) =.

График

Математическое ожидание по (3.1) .

1



; .

0,5

Дисперсия по (3.2)



x

.

1

-1

-2

Среднее квадратическое отклонение (по 3.3)

.

Задание 2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей. . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

Решение: Найдем число по (2.4.3) ; ; . Найдем по (2.4.2) . Рассмотрим при значениях х на данных интервалах

; .

.



1


4 х

Графики












х

4



Математическое ожидание по (3.1)

. .

Дисперсия по (3.2) .

Задание 3. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности .

Решение: Вероятность попадания случайной величины по (4.5) . Значение и находится по таблице функции Лапласа из приложения I. Схематический график – колоколообразная кривая (по 4.1) . . Точка перегиба ; . . .

f(x)

1




0,5

1

1,5



Задания к контрольной работе № 10


Контрольная № 10 содержит 3 заданий.


Задание 1. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения



-1

0

1

2


















Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение .


Задание 2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .


Задание 3. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности .


Варианты значений параметров контрольных заданий


вар.

Значение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10






0,2

0,15

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1



0,3

0,25

0,4

0,4

0,4

0,3

0,3

0,25

0,3

0,5



0,3

0,3

0,3

0,15

0,1

0,4

0,4

0,3

0,4

0,3



0,2

0,3

0,2

0,25

0,2

0,2

0,1

0,35

0,1

0,1



-0,5

-0,2

-0,8

-0,3

-0,4

0,2

0,1

-0,1

0,2

-0,1



0,4

1,2

1,8

0,7

1,2

1,2

1,5

0,5

1,3

1,1



2

1

3

1/2

1/4

1/3

1/5

2/5

3/4

2/3



10

9

8

7

6

5

4

3

2

2



4

5

1

2

3

1

5

2

5

4



2

5

4

3

2

1

2

3

4

6



13

14

9

10

11

12

11

10

9

10



Литература

  1. Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.

  2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.

  3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.

  4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.

  5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.

  6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.

  7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. 1977-2006 гг.

  8. Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.


Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).




Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов-заочников
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы