Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
Дата конвертации17.02.2013
Размер243.26 Kb.
ТипМетодические указания
источник




РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ


Кафедра Высшей математики и математического моделирования


Методические указания и задания

к контрольным работам студентов

II курса заочного отделения

для ЗПМ


Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.



Москва,

2006 г.

Контрольная работа № 2

Тема: «Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных»


Краткие теоретические сведения.

  1. Частные производные первого порядка. Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).

Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

Пример 1, ,

; ; ;

; . .

  1. Градиент скалярного поля вектор с координатами . Этот вектор направлен по нормали к линии уровня и характеризует направление наибольшего возрастания функции z.

.

Пример 2: Дана функция . Найти в точке .

; ; ; ;

(использовалась формула ).

Производная по заданному направлению вектора находятся по формуле , где – направляющие косинусы вектора , .

Пример 3: Дана функция . Найти производную по направлению вектора в точке .

; ;

; (использовалась формула ).

; ;

.


Задания к контрольной работе № 2


Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

Задание 2. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке А; 2) производную по направлению вектора в точке А.




вар-та

Задания

1

1) ;

2) .

2

1) ;

2) .

3

1) ;

2) .

4

1) ;

2) .

5

1) ;

2) .

6

1) ;

2) .

7

1) ;

2) .

8

1) ;

2) .

9

1) ;

2) .

10

1) ;

2) .



Контрольная работа № 3

Тема: «Дифференциальные уравнения»


Краткая теория и методические указания для решения:


  1. Дифференциальные уравнения I порядка: или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

    1. Уравнения с разделяющимися переменными

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

    1. Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1) . Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .

  1. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений вида , где и – произвольные постоянные.

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка



Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б) , два равных действительных корня: = , ;

в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .

и – корни характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , или .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , или .

в) .

2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).

а) , , ;

б) или .

Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов, подставив , , в уравнение 2.1. и приравняв коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или или и .

2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.


Примеры


  1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а) ; б) ; в) ; г) ;

Решение .

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка 1.2. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).

Решение.

а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .

б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .

Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение:



.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества

. Итак, .

в) Общее решение: .

г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3):

. Подставим начальные условия:

. Частное решение: при ; .


Задания к контрольной работе № 3

Контрольная работа содержит 2 задания:

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.

  2. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .




.

вар-та

Задания




1

1) ; 2)

2

1) ; 2)

3

1) ; 2)

4

1) ; 2)

5

1) ; 2)

6

1) ; 2)

7

1) ; 2)

8

1) ; 2)

9

1) ; 2)

10

1) ; 2)

Контрольная работа № 4

Тема: «Ряды»

Краткая теория.


  1. Числовые ряды

1.0) , Число – общий или n-ый член ряда.

1.1) Сумма ряда. Пусть , . называется n-ой частной суммой. Если существует , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. Иначе ряд – расходящийся.

1.2); – остаток ряда. Если , то .

1.3) Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд 1.0) сходится, то . Применяется для доказательства расходимости ряда, таким образом:

1.3.1) Если , то ряд расходится.

1.4) Знакоположительные ряды: , . Достаточные признаки сходимости.

1.4.1) Признаки сравнения.

Даны ряды (1) и (2).

1.4.1.2 – 1.4.1.3) Пусть , начиная с , где N = любое натуральное число.

Если ряд сходится, то ряд сходится.

Если ряд расходится, то ряд расходится.

1.4.1.4.) Если , то ряды и сходятся и расходятся одновременно.

1.4.2) Интегральный признак Коши.

Дан ряд , . Пусть – монотонно убывающая функция, т.е. , тогда если: а) сходится, то сходится; б) расходится, торасходится.

1.4.3) Признак Даламбера.

Дан ряд . Пусть .

При .

1.4.4) Радикальный признак Коши.

Дан ряд . Пусть . При .

1.5) Знакочередующиеся ряды.

1.5.0) Ряд , где .

1.5.1) Признак Лейбница.

Пусть а) , (– монотонно убывают); б) , тогда ряд сходится и его сумма .

1.5.2) Следствие: Остаток ряда . Если ряд сходится, то . Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого члена остатка.

1.6) Знакопеременный ряд. , где имеют разные знаки.

1.7) Если ряд из абсолютных величин членов ряда сходится, то ряд сходится абсолютно.

1.8) Если ряд расходится, а ряд сходится, то говорят, что ряд сходится условно.

1.9) Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов, поэтому, если для знакочередующегося ряда ряд из абсолютных величин расходится, то надо применить признак Лейбница, чтобы проверить, сходится ли исходный ряд условно.


2. Степенные ряды

2.1) ; Числа – коэффициенты ряда. При ряд сходится, называется центром сходимости.

2.1.1) При имеем ряд по степеням х: .

Заменой ряд 2.1) приводится к виду 2.1.1)

2.2) Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что при всех х, таких, что степенной ряд абсолютно сходится, а для всех х, таких, что степенной ряд расходится. Интервал называется интервалом сходимости. При и ряд может сходиться или расходиться. Это необходимо исследовать по признакам 1.3.1), 1.4.1), 1.4.2). Для рядов, расходящихся при всех х, кроме , радиус сходимости , а для рядов, сходящихся при всех х радиус сходимости .

2.3) План нахождения интервала сходимости и радиуса сходимости .

2.3.0) Дан ряд

2.3.1) Составим ряд из абсолютных величин членов ряда Интервалы сходимости рядов 2.3.0) и 2.3.1) одинаковы.

2.3.2) К ряду 2.3.1), все члены которого положительны, можно применить признак Даламбера или радикальный признак Коши.

Применение признака Даламбера: . В точках х, в которых этот предел меньше 1, ряд сходится, а в которых он больше 1, ряд расходится, значение , при котором это предел равен 1, является значением радиуса сходимости . Вид предела для определения интервала сходимости при применении радикального признака Коши .

2.3.3) Исследуем сходимость числовых рядов на границах интервала сходимости по признакам 1.3.1), 1.4.1) или 1.4.2).

3. Разложение функции в степенные ряды.

3.1) Ряд Тейлора в окрестности



– значение n-ой производной функции в точке . Если , то разложение по степеням х называется рядом Маклорена.


Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от х,



Ряд

Интервал

сходимости




1







2







3







4







5







6







7







8







9







10







4. Применение рядов Тейлора

4.1) Вычисление определённых интегралов с помощью разложения функции в степенной ряд и затем интегрирования его почленно.


Примеры для решения контрольной работы № 4


Контрольная работа содержит 3 контрольных задания

Дадим 2 примера контрольного задания №1.

Пример 1: Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак сравнения 1.4.1.3)

. Возьмем ,. Рассмотрим ряд . Применим интегральный признак 1.4.2) , – монотонно убывает. . Интеграл сходится, следовательно по 1.4.2), ряд сходится, а, значит, ряд сходится по 1.4.1.3)

Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера 1.7) ; .

По определению ; ; .



q = 0, q < 1 следовательно, ряд сходится.


Пример контрольного задания № 2. Найти интервал сходимости степенного ряда ;

Решение. Применим план нахождения интервала сходимости 2.3)

  1. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

, .

  1. Применим признак Даламбера к полученному ряду

, .

Ряд сходится при , т.е. , или . Радиус сходимости .

  1. Исследуем сходимость числового ряда на границах интервала при и .

а) Получим числовой ряд . Общий член этого ряда . Применим необходимый признак сходимости 1.3.1). ? ряд расходится.

б) . Получим числовой ряд . Это знакочередующийся ряд. Абсолютная величина общего члена ряда . По необходимому признаку сходимости 1.3.1) ряд расходится.

Итак, на границах интервала исходный ряд расходится.

Вывод. Интервал сходимости степенного ряда .


Пример контрольного задания № 3. Вычислить определенный интеграл , , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав почленно.

Решение: Разложим в ряд по таблице 3.2) для .

;



Мы получили знакочередующийся ряд. Если ограничиться четырьмя членами, то по следствию 1.5.2) из признака Лейбница остаток ряда , т.е. точность .

Итак, с точностью .


Задания к контрольной работе № 4

Задания контрольной работы:

  1. Исследовать сходимость числового ряда .

  2. Найти интервал сходимости степенного ряда .

  3. Вычислить определенный интеграл , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.



вар-та

Задания




1

1) ; 2) ; 3) , ;

2

1) ; 2) ; 3) , ;

3

1) ; 2) ; 3) , ;

4

1) ; 2) ; 3) , ;

5

1) ; 2) ; 3) , ;

6

1) ; 2) ; 3) , ;

7

1) ; 2) ; 3), ;

8

1) ; 2) ; 3), ;

9

1) ; 2) ; 3), ;

10

1) ; 2) ; 3), ;

Литература

  1. Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.

  2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.

  3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.

  4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.

  5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.

  6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.

  7. Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.

Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).




Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов-заочников
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы