Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Дата конвертации17.02.2013
Размер211.82 Kb.
ТипМетодические указания
источник


РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ


Кафедра математики


Методические указания и задания

к контрольным работам студентов

III курса заочного отделения

по математике (математической статистике)


Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.


Москва,

2012 г.


Контрольная работа № 11 (№ 13(II) для ЗРФ)

Тема: «Статистическая обработка выборки из генеральной

совокупности значений случайной величины»

Контрольная работа содержит 5 заданий:

Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х

    1. Разбить выборку на частичные интервалы.

    2. Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и накопленные относительные частоты.

    3. Построить на рисунке 1 гистограмму накопленных относительных частот и график эмпирической функции распределения.

    4. Построить на рисунке 2 гистограмму плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности распределения.

Задание 2: Статистические оценки параметров распределения случайной величины. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

Задание 3: Построение теоретической кривой плотности распределения и теоретической кривой функции распределения.

3.1 Сделать предположение о законе распределения случайной величины по виду графика эмпирической функции плотности распределения.

3.2 Вычислить значение теоретической функции плотности распределения в середине каждого частичного интервала, вероятности попадания случайной величины в каждый интервал, теоретическую функцию распределения.

3.3 Нанести полученные значения теоретической функции распределения и теоретической плотности распределения на рисунки 1 и 2 и построить соответствующие графики функций.

Задание 4: Проверка гипотезы о выбранном законе распределения случайной величины по критерию Пирсона. Взять уровень значимости (n – номер варианта задания) .

Задания 5: Выводы о результатах обработки выборки.


Литература: 1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая шк. 2006 г., 2.Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. М. 1991 г.


Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).


Пример решения контрольной работы № 11 (№ 13 для ЗРФ)

По теме: «Статистическая обработка выборки из

генеральной совокупности значений случайной величины»


Множество однородных объектов, подлежащих статистическому изучению, называется статистической совокупностью. Вся совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Ввиду ее большого объема из нее извлекают выборку объема , хорошо представляющую генеральную совокупность.

^ Цель работы - получение выводов о законе распределения генеральной совокупности X и ее характеристиках на основании изучения выборки.


Дан массив чисел , который является выборкой из генеральной совокупности Х случайных чисел (случайной величины Х).

, число значений .


Задание 1. Построение эмпирической функции распределения и эмпирической плотности распределения случайной величины Х.

    1. Разбить выборку на частичные интервалы. Найти в заданном массиве чисел и . Для удобства вычисления эти значения целесообразно округлить и взять общий интервал , где . На этом интервале находятся все случайные числа .Интервал делим на K равных частичных интервалов. Число K на практике принимают с округлением до целого. Для заданного массива . Длина каждого частичного интервала (1.2), .

    2. Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и накопленные относительные частоты.

Для этого сначала подсчитаем количество чисел заданного массива, попавших в i-ый интервал . Относительная частота (аналог вероятности попадания случайной величины Х в i-ый интервал).

(1.3)

Плотность относительных частот (аналог теоретической плотности вероятностей)

(1.4)

Накопленные частоты (аналог значений теоретической функции распределения вероятностей)

, т.е. (1.5)ит.д.

Каждый интервал будет представлять значение его середины . Представим результаты вычисления в таблице.

Таблица 1.



интервала

Интервалы



^ Подсчет числа

значений









1



2



2

0,08

0,02

0,08

2



6





5

0,20

0,05

0,28

3



10





11

0,44

0,11

0,72

4



14

••••

••

6

0,24

0,06

0,96

5



18



1

0,04

0,01

1













1.3-1.4. а) Гистограмма накопленных относительных частот и график эмпирической функции распределения вероятностей (рисунок 1)

б) Гистограмма плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности распределения (плотности вероятностей) (рисунок 2)

По оси ох откладываем интервалы значений случайной величины Х, по оси у – значения и в i-ом интервале (масштабы по оси ох и оу различные). Полученные ступенчатые фигуры, соответственно на рис. 1 и рис. 2, называются гистограммами.

а



0,5

0,72

0,961

0,28

0,08

0 4 8 12 16 20 х






) На рисунке 1: точки, соответствующие в правой границе i-ого интервала, соединяем плавной линией. Получим график эмпирической функции распределения вероятностей функции распределения .



Рисунок 1

Гистограмма накопленных относительных частот . График эмпирической функции распределения .

График теоретической функции распределения вероятностей

б) На рисунке 2: точки, соответствующие в середине i-ого интервала, соединяем плавной кривой. Эта кривая – график эмпирической функции плотности распределения .




Рисунок 2. Гистограмма плотности относительных частот . График эмпирической функции плотности распределения (или плотности вероятностей). График теоретической функции плотности вероятностей .






0,11


0,06

0,05


0,02




















0 4 8 12 16 20 х

Функция распределения -неубывающая, изменяется от 0 до 1.

Вероятность попадания выборки в интервал равна разности значений функции распределения в этих точках.

Площадь, ограниченная всем графиком функции плотности распределения, равна 1.

По виду графика плотности распределения вероятностей (в виде колокола) можно сделать

предположение, что случайная величина ^ Х распределена по нормальному закону.


Задание 2. Получение статистических оценок параметров распределения случайной величины Х. Вычисление оценок математического ожидания (среднего значения), дисперсии и среднеквадратического отклонения.

  1. Оценкой математического ожидания случайной величины Х является выборочное среднее (2.1)



Математическое ожидание генеральной совокупности .

  1. Оценкой дисперсии случайной величины Х является выборочная дисперсия

или (2.2)



Оценка дисперсии .

  1. Оценкой среднеквадратического отклонения случайной величины Х является выборочное среднеквадратическое отклонение

(2.3)

,

Задание 3. Построение теоретической кривой плотности вероятностей и теоретической кривой функции распределения.

    1. Мы предположили, что случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем математическое ожидание её , среднеквадратическое отклонение .

    2. Функция плотности вероятностей нормального распределения

(3.1)

Обозначим (3.2), тогда (3.3), где – функция Гаусса. Для её значений существует таблица (см. приложение таблица I).Причем . Тогда теоретическая вероятность попадания значения случайной величины в i-ый интервал (3.4) (аналог формулы 1.4 ). Теоретические частоты вычисляются по формуле (3.5) (аналог формулы 1.3 ). Значение теоретической функции распределения найдём по формуле , т.е. (3.6) (аналог формулы 1.5). По формуле (3.6) найдём значение теоретической функции распределения в конце каждого i-го интервала.

Внесем полученные значения в таблицу.

Таблица 2



интервала















1

2

-2,05

0,049

0,013

0,052

1,3

0,052

2

6

-1,0

0,242

0,062

0,248

6,2

0,30

3

10

0,04

0,4

0,104

0,426

10,5

0,726

4

14

1,08

0,22

0,057

0,228

5,7

0,954

5

18

2,13

0,041

0,011

0,044

1,1

0,998



    1. Нанесем полученные значения на рисунок 1 (в конце каждого i-ого интервала и соединим полученные точки) и на рисунок 2 (в середине каждого i-ого интервала и соединим полученные точки) (используем другие обозначение, _ _ _ _ _).

Сравнения эмпирических и теоретических кривых (они близки) визуально подтверждает предположение, что случайная величина ^ Х распределена по нормальному закону.


Задание 4. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х с помощью критерия Пирсона. Уровень значимости - это допустимая вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу. .

Делаем по следующему плану:

  1. Выдвигаем гипотезу : случайная величина Х распределена по нормальному закону с и .

  2. Альтернативная гипотеза : случайная величина Х не распределена по нормальному закону.

  3. Выбираем критерий проверки гипотезы – критерий Пирсона (хи-квадрат) .

  4. Вычисляем фактическое значение критерия Пирсона, при этом из таблицы 1, из таблицы 2.



  1. По таблице II из приложения находим критическое значение , – уровень значимости, это допустимая вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу, у нас .

. Здесь – число интервалов, – число параметров, определяющих проверяемый закон; для нормального закона ( и ). Для данного массива . По таблице II из приложения находим .

  1. Строим критическую область , т.е. область значений критерия , при котором гипотеза отвергается.




критическая область







0 3



Откладываем фактическое значение. Так как значение не попало в критическую область, то принимаем гипотезу .

Задание 5. Вывод.

Была проведена статистическая обработка массива чисел , который является выборкой из генеральной совокупности Х.

5.1 Были построены графики эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности вероятностей.

    1. По виду графика эмпирической функции плотности вероятностей было сделано предположение о нормальном законе распределения генеральной совокупности Х.

    2. Были определены выборочные среднее значение и среднеквадратическое отклонение .

    3. Исходя из предположения, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону с параметрами и , были вычислены теоретические значения функции плотности вероятностей и функции распределения и построены графики и . Была отмечена близость теоретических и эмпирических графиков.

    4. С помощью критерия Пирсона была проверена гипотеза о том, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону. Гипотеза подтвердилась.

Итак, генеральная совокупность Х, представленная выборкой, распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением .

Варианты контрольной работы № 11 (№ 13 для ЗРФ)

Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х

    1. Разбить выборку на частичные интервалы.

    2. Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и накопленные относительные частоты.

    3. Построить на рисунке 1 гистограмму накопленных относительных частот и график эмпирической функции распределения.

    4. Построить на рисунке 2 гистограмму плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности распределения.

Задание 2: Статистические оценки параметров распределения случайной величины. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

Задание 3: Построение теоретической кривой плотности распределения и теоретической кривой функции распределения.

3.1 Сделать предположение о законе распределения случайной величины по виду графика эмпирической функции плотности распределения.

3.2 Вычислить значение теоретической функции плотности распределения в середине каждого частичного интервала, вероятности попадания случайной величины в каждый интервал, теоретическую функцию распределения.

3.3 Нанести полученные значения теоретической функции распределения и теоретической плотности распределения на рисунки 1 и 2 и построить соответствующие графики функций.

Задание 4: Проверка гипотезы о выбранном законе распределения случайной величины по критерию Пирсона. Взять уровень значимости (n – номер варианта задания) .

Задания 5: Написать выводы о результатах обработки выборки.





вар-та



Выборка

1

0,01

0,2; 17,2; 8,5; 25; 30; 39,8; 14; 8,5; 10,3; 28,2; 15,1; 21,2; 23; 22,8; 12; 25,8; 22,1; 29,2; 30,8; 26,1; 17,1; 18,9; 19,5; 23,1; 23,8

2

0,01

0,3; 7,1; 19,2; 29,9; 13,5; 5,1; 20,5; 7,8; 14,5; 17,1; 18,4; 16,5; 7,1; 14,2; 22,5; 23,8; 12,5; 19,4; 11,8; 13,6; 7; 14; 17; 23; 15

3

0,01

2,5; 3; 9,8; 1,5; 4,2; 5; 5,5; 2,7; 0,4; 8,5; 3,1; 4,8; 5,7; 3; 3,5; 1,8; 7,1; 6,5; 4,8; 3,8; 7; 5; 4,2; 6,8; 5,8

4

0,05

13,5; 17,1; 17; 7; 10; 20; 21; 29,9; 5; 0,5; 9; 15; 22; 25; 23; 14; 19; 13,2; 14,4; 7,5; 8,39; 11,8; 14,5; 15,8; 16,9

5

0,01

17; 0,6; 5; 9,5; 10; 11,5; 12,5; 10,1; 6; 7,2; 10,2; 19,4; 13,1; 15; 15,8; 14,1; 10,2; 11,7; 8,5; 4,8; 9,1; 10,5; 11,2; 13,1; 10

6

0,01

8,5; 6,1; 7,2; 4,5; 5,8; 2,3; 3; 0,01; 9,9; 3,5; 3,9; 5; 4,9; 6,3; 5,2; 4,8; 5,6; 4,2; 1,2; 6,2; 7,1; 5,2; 4,3; 6,8; 4,6

7

0,05

19,6; 9,1; 4,8; 17; 0,2; 2; 5; 6; 6,5; 3,1;8,5; 10; 11; 13; 14,2; 10,5; 11,7; 12,5; 14,6; 4,8; 9,1; 11,3; 15; 9; 10,2

8

0,01

-3,9; 0,5; 1; 1,5; 3; 2,5; 5,9; 5; 3,2; 1; 1,5; -1; -0,5; -3; 0,5; 1,2; 0,4; -1; -1,5; 0,8; 0,9; 1,2; 3,2; 0,8; 1,2

9

0,05

16; 17; 15; 0,2; 6,5; 7,2; 8; 18,2; 19; 21; 22; 25; 29,5; 14; 16,2; 17,6; 16,8; 6,5; 14,8; 11; 19,3; 13,5; 22; 21; 15,5

10

0,01

39,8; 25; 26; 17; 18; 9; 10; 0,5; 1; 8,5; 17,8; 26,1; 29; 18,5; 20; 21; 22; 28; 12,1; 14,2; 15; 18,9; 15; 23; 23,5



Контрольные вопросы по теме

«Статистическая обработка выборки из генеральной

совокупности значений случайной величины»

I. 1.Определите цель работы.

2.Основное свойство выборки из генеральной совокупности.

2.Написать формулу для определения плотности относительных частот.

3.Написать формулу для определения накопленных относительных частот.

4.Как получается график эмпирической функции плотности распределения статистической вероятности?

5.Чему равна площадь, ограниченная графиком функции плотности распределения?

4.Как получается график эмпирической функции распределения?

5. Определить вероятность попадания выборки в интервал ,

6. Какому интервалу принадлежат все значения функции?

7. Перечислите основные свойства функции.

.

II. 1.Какие оценки параметров распределения Вы знаете?

2.Каково соответствие между параметрами выборки и генеральной совокупности?

3.Запишите формулы для вычисления всех статистических оценок.

4.Какие из статистических оценок могут быть отрицательными?


III. 1.Почему выдвинута гипотеза о нормальном законе распределения?

2.Запишите формулу плотности вероятностей нормального закона распределения.


IV.1.В чем состоит нулевая гипотеза при проверке по критерию Пирсона

2. Как находят критическое значение критерия?

3.Что такое уровень значимости при определении критической величины ?

4.Какого вида критическая область строится при проверке гипотезы о нормальном законе распределения?

5.Как находят фактическое значение критерия Пирсона?

6.Почему при нет оснований отвергать нулевую гипотезу ?


ПРИЛОЖЕНИЕ


Таблица I значений функции Гаусса.




0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09



0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9


1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9


2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9


3,0

3,1

3,2

3,3



0,3989

3970

3910

3814

3683

3521

3332

3123

2897

2661


0,2420

2179

1942

1714

1497

1295

1109

0940

0790

0656


0,0540

0440

0355

0283

0224

0175

0136

0104

0079

0060


0,0044

0033

0024

0017


3989

3965

3902

3802

3668

3503

3312

3101

2874

2637


2396

2155

1919

1691

1476

1276

1092

0925

0775

0644


0529

0431

0347

0277

0219

0171

0132

0101

0077

0058


0043

0032

0023

0017


3989

3961

3894

3790

3652

3485

3292

3079

2850

2613


2371

2131

1895

1669

1456

1257

1074

0909

0761

0632


0519

0422

0339

0270

0213

0167

0129

0099

0075

0056


0042

0031

0022

0016


3988

3956

3885

3778

3637

3467

3271

3056

2827

2589


2347

2107

1872

1647

1435

1238

1057

0893

0748

0620


0508

0413

0332

0264

0208

0163

0126

0096

0073

0055


0040

0030

0022

0016


3986

3951

3876

3765

3621

3448

3251

3034

2803

2565


2323

2083

1849

1626

1415

1219

1040

0878

0734

0608


0498

0404

0325

0258

0203

0158

0122

0093

0071

0053


0039

0029

0021

0015


3984

3945

3867

3752

3605

3429

3230

3011

2780

2541


2299

2059

1826

1604

1394

1200

1023

0863

0721

0596


0488

0396

0317

0252

0198

0154

0119

0091

0069

0051


0038

0028

0020

0015


3982

3939

3857

3739

3589

3410

3209

2989

2756

2516


2275

2036

1804

1582

1374

1182

1006

0848

0707

0584


0478

0387

0310

0246

0194

0151

0116

0088

0067

0050


0037

0027

0020

0014


3980

3932

3847

3726

3572

3391

3187

2966

2732

2492


2251

2012

1781

1561

1354

1163

0989

0833

0694

0573


0468

0379

0303

0241

0189

0147

0113

0086

0065

0048


0036

0026

0019

0014


3977

3925

3836

3712

3555

3372

3166

2943

2709

2468


2227

1989

1758

1539

1334

1145

0973

0818

0681

0562


0459

0371

0297

0235

0184

0143

0110

0084

0063

0047


0035

0025

0018

0013


3973

3918

3825

3697

3538

3352

3144

2920

2685

2444


2203

1965

1736

1518

1315

1127

0957

0804

0669

0551


0449

0363

0290

0229

0180

0139

0107

0081

0061

0046


0034

0025

0018

0013





ТаблицаII. Критические точки распределения



Число

степеней

свободы

m


Уровень значимости



0,01


0,025


0,05


0,95


0,975


0,99



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10




6,6

9,2

11,3

13,3

15,1

16,8

18,5

20,1

21,7

23,2


5,0

7,4

9,4

11,1

12,8

14,4

16,0

17,5

19,0

20,5


3,8

6,0

7,8

9,5

11,1

12,6

14,1

15,5

16,9

18,3


0,0039

0,103

0,352

0,711

1,15

1,64

2,17

2,73

3,33

3,94




0,00098

0,051

0,216

0,484

0,831

1,24

1,69

2,18

2,70

3,25



0,00016

0,020

0,115

0,297

0,554

0,872

1,24

1,65

2,09

2,56





Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике) iconМетодические указания и контрольное задание для студентов специальностей
Методические указания составлены применительно к программе дисциплины «Электроизоляция и перенапряжения в электрических системах»...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы