Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
страница1/4
Ваксман К.Г
Дата конвертации17.02.2013
Размер0.9 Mb.
ТипМетодические указания
источник
  1   2   3   4





^ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ


Кафедра Высшей математики и математического моделирования


Методические указания и задания

к контрольным работам студентов

^ III курса заочного отделения

для ЗРФ


Составитель: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.


Москва,

2006 г.

Контрольная работа № 11 для ЗРФ

Тема: Уравнения математической физики.


Краткие теоретические сведения.


1. Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных от нее второго и первого порядка, линейные относительно функции и ее частных производных.

1.1. Для однородных уравнений в частных производных (в которых отсутствует посторонняя функция в правой части уравнения) справедливо утверждение, что общее решение есть функциональный ряд, составленный из частных решений.

2. Решение уравнения теплопроводности в конечном стержне длиной .

2.1. или .

Искомая функция – температура в точке с координатой бесконечно тонкого стержня в момент времени . – постоянный коэффициент. Функция удовлетворяет условиям:

2.2. Начальным – т.е. значение температуры в начальный момент времени в точках стержня равно .

2.3. Граничным условиям


2.3.1.


2.3.2. , т.е. температура на концах стержня равна нулю.

3. Решение уравнения теплопроводности будем искать методом Фурье разделения переменных.

Пусть частные решения представлены в виде произведения двух функций, каждая их которых зависит только от одной независимой переменной.

3.1.

Тогда а .

Подставим в (2.1) .

Разделим обе части уравнения на ; .

Обе части этого уравнения должны быть постоянными, т.к. левая часть не зависит от , а правая – не зависит от , т.е. они не зависят ни от , ни от . Обозначим эту величину через . Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения.

3.2.1. .


3.2.2. .

Решим 3.2.1. или

Поскольку температура не может ни при каком неограниченно возрастать при , то – отрицательное число. Обозначим ; .

Решим уравнение 3.2.2. или Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

Решение 3.2.2. . Из первого граничного условия 2.3.1. следует, что т.е. а , т.е. .

Из второго граничного условия 2.3.2. следует, что т.к. , то , где

Числа , зависящие от натурального числа , называются собственными числами задачи.

3.2.3. .

3.2.4. Частное решение Обозначим произведение произвольных постоянных

4. Общее решение уравнения теплопроводности (по 1.1.)

.

5. Необходимо определить коэффициенты , пользуясь начальным условием 2.2.

Учтя, что , получим

5.1.) 5.1. – это разложение функции , заданной на интервале , в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты вычисляются по формулам:

5.1.1. . Подставив вычисленные в формулу 4. , получим искомое решение задачи.

Решение примера задания

контрольной работы № 11 для ЗРФ


Найти решение уравнения теплопроводности.

(I) , 0<<3, .

Начальные условия:

(II) . .

Граничные условия:

(III) ,

Решение:

Пусть ; , .

Подставим в уравнение (I)

; .

Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

а) ; б) .

Решим уравнение а) , , .



Решим уравнение б) .

Характеристическое уравнение , ; , .

Воспользуемся граничными условиями (III)



;

По 3.2.3 и .

По 3.2.4 .

Общее решение по 4) .

Найдем , воспользовавшись начальными условиями (II)

.

По 5.1.1 .

Для получения надо вычислить интегралы двух видов:

А) , В) .

Напомним, а) они вычисляются методом интегрирования по частям:

если , то ;

б) ; ;

в) , где (.

Вычислим А)



.

В)

.

При вычислении : , ; ; ; ; ; ;



.

Итак, решение

.

Варианты заданий

контрольной работы №11 для ЗРФ

Тема: Уравнения математической физики.


Задание: Найти решение уравнения теплопроводности на отрезке , ; , удовлетворяет:

а) начальным условиям ;

б) граничным условиям .




вар-та
















1

16

3










2

1

2

1







3

25

5










4

16

4

2







5

4

5










6

1

3










7

25

8

4







8

9

2

1







9

16

1










10

4

4

2









Контрольная работа № 12 для ЗРФ

Тема: «Элементы теории функций комплексного переменного»


Краткие теоретические сведения.

  1. Комплексное число . i – мнимая единица, , т.е. . х, у – любые действительные числа; х – действительная часть, а у – мнимая часть комплексного числа.

Запись: .

    1. Комплексное число представляется точкой плоскости хоу (комплексной плоскости z).

    2. Тригонометрическая форма комплексного числа , где – модуль, . – аргумент комплексного числа z. . .

    3. Показательная форма комплексного числа .

    4. и т.д. .

    5. Пусть .

1.5.1 .

1.5.2 .

1.5.3 .

1.5.4 .

  1. Функция комплексного переменного.

Пусть , функция может быть представлена в виде двух действительных функций u и v от действительных переменных х и у. , .

Примеры: 1) , тогда ;

2) .

  1. Элементарные функции комплексного переменного.

    1. Степенная функция , n – целое, положительное число.

Пусть , тогда .

    1. – корень целой положительной степени, если , то n-значная функция при .

    2. Показательная функция.

Пусть , .

    1. Логарифмическая функция.

. – бесконечнозначная функция.

    1. Тригонометрические функции.

Пусть . .

  1. Производная функция комплексного переменного.

    1. Пусть определена и однозначна в некоторой окрестности точки .

, где – приращения.

    1. Если имеет производную во всех точках области D, то называется аналитической в области D. Точки плоскости z, в которых не определена или не является аналитической, называются особыми.

    2. Необходимые и достаточные условия аналитичности функции (условие Коши-Римана или Эйлера-Даламбера). Однозначная функция , где аналитична в точке z и её окрестностях, тогда и только тогда, когда и .

    3. Для нахождения производной применяются обычные правила дифференцирования.

  1. Ряд Лорана для функции с центром в точке имеет вид.

5.1.

или

5.2. Приёмы разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки .

5.2.1. Используют разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций, беря

5.2.2. Если надо получить разложение функции в окрестности , то надо представить функцию в двух областях аналитичности:

1) внутри круга с центром в точке b, радиуса .

, можно воспользоваться табличным рядом Маклорена (6) для при .

2) вне круга с центром в точке b, радиуса .

, можно воспользоваться табличным рядом Маклорена (6) для при , т.е. .

5.2.3. Разложения для можно получить продифференцировав ряд для , т.к. .

5.2.4. Часто надо предварительно преобразовать разлагаемую в ряд функцию, применив формулы: ; ; . Например, если надо разложить в окрестности .



5.2.5. Рациональную дробь надо представить в виде суммы простейших дробей

. А1 и А2 получим, приведя правую часть тождества к общему знаменателю и приравняв числители дробей слева и справа.

. Получим систему уравнений относительно А1 и А2 .

  1   2   3   4



Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов-заочников
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы