Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф icon

Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф




НазваниеМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф
страница2/4
Ваксман К.Г
Дата конвертации17.02.2013
Размер0.9 Mb.
ТипМетодические указания
источник
1   2   3   4
Примеры выполнения заданий

контрольной работы № 12 для ЗРФ

Пример к заданию № 1:

а) Представить функцию , где в виде ;

б) Проверить, является ли она аналитической;

в) Если – аналитическая, то найти производную в точке .

а)



Следовательно, ; .

б) Проверяем аналитичность по формулам Коши-Римана (по 4.3) и . Напомним, что беря частную производную по одной переменной, считаем другую переменную – постоянной.





(х – постоянная, тогда - тоже постоянная)



Очевидно, .







(у – постоянная).

Как видно . Следовательно, функция аналитическая всей комплексной плоскости z.

в) Находим производную в точке . .

Пусть , тогда .

По (3.3) ;



.


К заданию № 2 дадим 3 примера:

Пример 1 к заданию № 2:

Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки .

Надо получить разложение по степеням .

. По правилу 5.2.5. ;

; или ;

; .

Разложим в ряд функцию по 5.2.2

  1. Внутри круга с центром в точке радиуса .

при можно воспользоваться формулой (6) рядов Маклорена для .

Тогда при .

  1. Вне круга с центром в точке радиуса .

при по формуле (6) для рядов Маклорена для .

и

, при .


Пример 2 к заданию № 2:

Разложить функцию в окрестности точки . Воспользуемся формулой (3) таблицы рядов Маклорена для .




Пример 3 к заданию № 2:

Разложить функцию в окрестности точки .

Преобразуем .

Воспользуемся формулами (2) и (3) таблицы рядов Маклорена для .



Приложения к контрольной работе № 12

I Таблица основных производных


, – функции от х , с, а, const – постоянные числа,

1–1) ; 1–2) ; 1–3) ; 1–4) ;


1–5) .

Основные правила дифференцирования

2–1) ; 2–2) ; 2–3) (с – число); 2–4)


II Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от z,



Ряд

Интервал

сходимости




1







2







3







4







5







6







7







8







9









Варианты заданий контрольной работы № 12 для ЗРФ

Тема: «Элементы теории функций комплексного переменного»


Задание 1:

а) Представить заданную функцию , где в виде ;

б) Проверить является ли аналитической;

в) Если – аналитическая, то найти значение её производной в точке .

Задание 2: Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки .




вар-та
















1













2










1

3




1




0

4













5










2

6










1

7










0

8










1

9













10










1



Контрольная работа № 13 (I)

Тема: «Теория вероятностей»

Краткая теория и методические указания.

  1. Случайные события

    1. Вероятность события А – это число, характеризующее возможность наступления этого события при некоторых испытаниях (опытах).

    2. Классическое определение вероятности. Вероятность события , где m – число благоприятных для этого события исходов опыта, n – общее число всех элементарных исходов .

    3. События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного события исключает появление другого.

    4. События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

    5. Суммой событий А + В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (или А или В или обоих вместе).

    6. Произведением (пересечением) событий называется событие D, которое состоит в том, что произошли одновременно оба события А и ВА и В).

    7. Событие называется противоположным событию А, если в результате опыта может произойти только одно из событий А или . .

    8. Вероятность суммы событий А и В .

    9. Для несовместных событий А и В : .

1.10 Теорема умножения вероятностей независимых событий .

1.11 Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

1.12 Теорема умножения вероятностей зависимых событий .

1.13 Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти с одной из гипотез . События – несовместные и . Тогда .

1.14 Формула Байеса или апостериорные вероятности гипотез.

Пусть событие А, которое могло произойти с одной из гипотез , произошло в результате опыта. Априорные (до опыта) вероятности гипотез были равны . Апостериорные (после опыта) вероятности гипотез при том, что событие А произошло, вычисляются по формулам , где – вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности 1.13 . Апостериорные вероятности гипотез не равны априорным вероятностям .

  1. Случайные величины (СВ)

    1. Случайной величиной Х называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений.

    2. Функция распределения . Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом .

2.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале равна .

    1. Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные точки числовой оси.

2.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений




































В первой строке таблицы указаны все значения х ДСВ Х, а во второй строке – вероятности принятия значения . .

2.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой . .

График представляет собой ступенчатую линию.

Непрерывные случайные величины (НСВ). НСВ принимает свои значения непрерывно на некотором интервале числовой оси.

2.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения , .

2.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле . График НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую. .

2.4.3 Площадь под графиком равна 1, так как .

2.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале равна . При . Вероятность отдельного значения равна нулю.

^ Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание – это среднее значение совокупности значений СВ.

Для ДСВ , для НСВ

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ от своего среднего значения . Пусть .

Для ДСВ: , для НСВ: .

Среднее квадратическое отклонение . – это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения.


Нормальное распределение

Оно самое распространенное распределение в природе, экономике и т.д. Обозначается , где и – параметры нормального распределения, .

Функция плотности вероятностей . определена на всей числовой оси, ; . Функция достигает при максимума, равного и имеет точки перегиба в точках и . При изменении значения график целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения график изменяется так: при увеличении значения в k раз максимальное значение уменьшается в k раз и график выполаживается.

Математическое ожидание , дисперсия .

Функция распределения .

Нормированное нормальное распределение . – функция Гаусса,

– функция Лапласа. . Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для . При этом , .

Вероятность того, что примет значения в интервале .

Примеры решения контрольных заданий


Задание 1. В урне находится белых и черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну

б) первый шар не возвращают в урну.


Решение: Событие А – два шара разных цветов. Оно является суммой двух событий . Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – белый; – второй шар – черный. Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – черный; – второй шар – белый.


а) Первый шар после вынимания возвращают в урну. При этом события и , а также и являются независимыми (по 1.4). ; .

Найдем вероятность события . Для него опыт – вынимание одного шара из урны. Общее число исходов опыта равно общему числу шаров . Число исходов опыта, благоприятных для события равно числу белых шаров . (по 1.2). Так как вынутый шар возвращают в урну, то рассуждая аналогично, получим ; ; . По формуле (1.10) ; . События и , очевидно, несовместные (см. 1.3). По формуле (1.9) ; .


б) Первый шар после вынимания не возвращают в урну. При этом события и , а также и являются зависимыми (см. 1.4). По (1.12) ; . Вычислим условную вероятность события при условии, что произошло событие и шар не вернули в урну. Осталось в урне шаров, в том числе черных. . Аналогично рассуждая, получим . ; (по 1.12). События и – несовместные .


Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. а) Найти вероятность, что эта деталь – стандартная; б) найти апостериорные вероятности гипотез при условии, что извлеченная для контроля из 2-ого ящика деталь оказалась стандартной.


Решение:

а) Надо найти вероятность события А – взятая из второго ящика деталь – стандартная. Опыт здесь производится при условии двух гипотез:

– из первого ящика сначала взяли и перенесли во второй стандартную деталь.

– из первого ящика взяли и перенесли во второй нестандартную деталь.

Будем пользоваться формулой полной вероятности . Найдем вероятности и . Общее количество элементарных исходов опыта для (а также для ) . Количество исходов опыта, благоприятных для равно числу стандартных деталей , а для равно числу нестандартных деталей . ; ; . При выполнении гипотезы , во втором ящике станет деталей, из них стандартных. . При выполнении гипотезы во втором ящике станет деталей, в том числе стандартных. . По (1.13) .

б) Найдём апостериорные вероятности гипотез и .

Из 1.14 , мы уже вычисляли . ; .

Итак, до опыта , после опыта , .


Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.



-2

-1

0

1






0,15

0,2

0,4

0,25

Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение .

Решение: Найдём функцию распределения . (по 2.3.2). Рассмотрим в интервалах между значениями .

по (2.2.1) =.

График

Математическое ожидание по (3.1) .

1



; .

0,5

Дисперсия по (3.2)



x

.

1

-1

-2

Среднее квадратическое отклонение (по 3.3)

.

Задание 4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей. . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

Решение: Найдем число по (2.4.3) ; ; . Найдем по (2.4.2) . Рассмотрим при значениях х на данных интервалах

.

.

.



1


4 х

Графики












х

4



Математическое ожидание по (3.1)

. .

Дисперсия по (3.2) .

Задание 5. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности .

Решение: Вероятность попадания случайной величины по (4.5) . Значение и находится по таблице I функции Лапласа из приложения. Схематический график – колоколообразная кривая (по 4.1) . . Точка перегиба ; , . .

f(x)

1




0,5

1

1,5



Варианты контрольной работы № 13 (I) для ЗРФ

Контрольная № 13 содержит 5 заданий.


Задание 1. В урне находится а белых и b черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну

б) первый шар не возвращают в урну.


Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. а) Найти вероятность, что эта деталь – стандартная; б) найти апостериорные вероятности гипотез при условии, что извлеченная для контроля из 2-ого ящика деталь оказалась стандартной.


Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения



-1

0

1

2


















Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение .

Задание 4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

Задание 5. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности .


Варианты значений параметров контрольных заданий


вар.

Значение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10






2

4

5

5

4

5

6

7

5

4



4

3

6

4

6

3

7

8

9

9



2

3

2

4

3

4

5

4

4

5



3

2

4

2

4

3

4

5

2

2



3

2

3

2

2

3

2

2

3

4



4

4

1

3

4

2

3

4

4

5



0,2

0,15

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1



0,3

0,25

0,4

0,4

0,4

0,3

0,3

0,25

0,3

0,5



0,3

0,3

0,3

0,15

0,1

0,4

0,4

0,3

0,4

0,3



0,2

0,3

0,2

0,25

0,2

0,2

0,1

0,35

0,1

0,1



-0,5

-0,2

-0,8

-0,3

-0,4

0,2

0,1

-0,1

0,2

-0,1



0,4

1,2

1,8

0,7

1,2

1,2

1,5

0,5

1,3

1,1



2

1

3

1/2

1/4

1/3

1/5

2/5

3/4

2/3



10

9

8

7

6

5

4

3

2

2



4

5

1

2

3

1

5

2

5

4



2

5

4

3

2

1

2

3

4

6



13

14

9

10

11

12

11

10

9

10



ПРИЛОЖЕНИЕ

1   2   3   4



Похожие:

Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрф
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зпм
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрт, зргэ
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (кроме зпм)
Для успешного выполнения контрольной работы необходимо повторить по любому учебнику математики (Алгебра) следующие разделы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения по математике (математической статистике)
Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов II курса заочного отделения для зрм, зрмэ, змгг, згэк, зрн
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов I курса заочного отделения (для зпм)
Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на,где наибольший показатель степени при в числителе и...
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов заочной формы обучения
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания по изучению дисциплины: „ теория технических систем" для студентов ІI курса заочной формы обучения по специальности 090220 „Оборудование химических производств и предприятий строительных материалов"
Индивидуальные задания для выполнения контрольной работы
Методические указания и задания к контрольным работам студентов III курса заочного отделения для зрф iconМетодические указания для выполнения контрольной работы для студентов-заочников
Методические указания разработаны на кафедре «Прикладная экономика» пгта и предназначены для студентов-заочников
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы