Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид icon

Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид




НазваниеРешение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид
Дата конвертации28.05.2013
Размер34.61 Kb.
ТипДокументы
источник

§5. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги. Угол между кривыми на поверхности.

Пусть гладкая поверхность задана . Тогда - первая квадратичная форма, где .

Длина дуги кривой .

Угол между кривыми и



  1. Найти первую квадратичную форму прямого геликоида.

Решение. 1) Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид: .

2) Найдем . Тогда , , . Итак, первая квадратичная форма прямого геликоида имеет вид . 

  1. Поверхность имеет первую квадратичную форму . На ней дан криволинейный треугольник Т, ограниченный линиями . Найти длины его сторон, величины углов и площадь.




Решение. 1) Вычислим длины сторон треугольника Т.

Зададим . Вычислим . Тогда . Аналогично, , . Тогда и .

2) Вычислим углы треугольника Т.

Рассмотрим точку . Ей отвечают значения параметров . Имеем в любой точке, в частности в точке . в любой точке, в частности в точке . Тогда . Аналогично, . Угол в вершине О () треугольника определить не можем, так как эта точка не попадает в область задания поверхности ().

3) Вычислим площадь треугольника. . 


Нахождение ортогональной траектории дли заданного семейства кривых на поверхности. Пусть дана гладкая поверхность и однопараметрическое семейство линий на поверхности (- параметр). Линия, пересекающая все кривые семейства под прямым углом, называются ортогональной траекторией семейства . Требуется найти уравнение этой ортогональной траектории. Пусть - искомая ортогональная траектория. - кривая из семейства . Тогда . Продифференцируем это тождество: можно положить . Так как угол , . Тогда по формуле для вычисления угла между кривыми получим или . Сократив на , получим дифференциальное уравнение, проинтегрировав которое, найдем параметрическое представление ортогональной траектории:

(*)


  1. В условиях задачи 2 найти какую-либо ортогональную траекторию семейства .

Решение. Подставим данные задачи в уравнение (*). Имеем . Тогда . Интегрируем , то есть - уравнения ортогональных траекторий. Ÿ


Задачи к зачету и проверочным работам (§5).

  1. Вычислить первые квадратичные формы и углы между координатными линиями следующих поверхностей:

а) сферы

б) гиперболического параболоида

в) двуполостного гиперболоида вращения

г) тора .

  1. Доказать, что поверхность является гиперболическим параболоидом и найти угол между линиями и .

  2. На прямом геликоиде вычислить угол между линиями: а) и ; б) и .

  3. На поверхности вычислить угол между линиями и .

  4. Доказать, что поверхность - конус и линия делит пополам углы между координатными линиями.

  5. Доказать, что линии на поверхности, заданные дифференциальными уравнениями , ортогональны.

  6. На поверхности найти все линии, пересекающие координатные линии под прямым углом.

  7. На поверхности найти кривую, пересекающую все координатные линии под углом .

  8. Дана первая квадратичная форма поверхности . Найти периметр криволинейного треугольника, ограниченного линиями .

  9. Найти площадь треугольника, образованного пересечением линий и на поверхности с первой квадратичной формой .

  10. Под каким углом пересекаются линии и на прямом геликоиде ? А под каким углом эти же линии пересекаются на сфере ?

  11. Найти длины сторон, величины углов и площадь треугольника, ограниченного кривыми , найти ортогональные траектории семейства , если первая квадратичная форма имеет вид:

а)

б)

в)

г)

д) .

  1. Найти площадь выпуклой области на сфере, ограниченной одним циклом кривой Вивиани (кривой, являющейся пересечением сферы радиуса и прямого кругового цилиндра диаметра , одна из образующих которого проходит через центр сферы).

  2. Найти площадь прямоугольного треугольника на сфере радиуса , сторонами которого являются дуги больших окружностей этой сферы.









Похожие:

Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconСеминар Найти главные направления и главные кривизны поверхностей: а в точке; б в точке; в в точке; г прямого геликоида в точке
Найти нормальные кривизны в произвольной точке в направлении координатных линий прямого геликоида и тора
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение. 1 Заметим, что искомая поверхность линейчатая. Ее векторное параметрическое уравнение
А]№1077. В пространстве дана кривая. Составить параметрические уравнения поверхности, образованной бинормалями этой линии. Доказать,...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconСеминар Написать параметрические уравнения поверхностей, образованных касательными к следующим кривым, и найти линии пересечения этих поверхностей с плоскостью : 1, 2
Написать параметрические уравнения поверхностей, образованных касательными к следующим кривым, и найти линии пересечения этих поверхностей...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconВопросы к экзамену по курсу "Дифференциальные Уравнения"
Ду высших порядков, решение. Общее решение. Общий интеграл. Промежуточный интеграл. 1-й интеграл. Понижение порядка уравнения с помощью...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение тригонометрических уравнений, имеют ту же силу
Все общие правила, относящиеся к решение тригонометрических уравнений, имеют ту же силу
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconУрок в 11 классе по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств (включая уравнения и неравенства смешанного типа)» Учитель: Алтухова Ю. В. Цель урока
Закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства, сводимые к простейшим вида специальными методами
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение квадратного уравнения a*x*x +b*x+c a= b= c=

Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение квадратного уравнения а*х*х+b*x+c=0

Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение квадратного уравнения a*x*x+b*x+c=0 a= b= c= 1 7 10 d 9

Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение квадратного уравнения а*х*х+b*x+c=0

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы