Первая квадратичная форма поверхности icon

Первая квадратичная форма поверхности




НазваниеПервая квадратичная форма поверхности
Дата конвертации28.05.2013
Размер19.21 Kb.
ТипДокументы
источник

§9. Первая квадратичная форма поверхности.

Пусть - гладкая поверхность. Рассмотрим дифференциал этой векторной функции . Возьмем его скалярный квадрат: . Обозначим . Мы получили в каждой точке поверхности квадратичную форму на векторном пространстве . Так как , полученная квадратичная форма положительно определенная. Эта квадратичная форма задает евклидову структуру в касательном векторном пространстве , то есть превращает его в двумерное евклидово векторное пространство.

Определение. Квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности или ее линейным элементом.

Заметим, что коэффициенты первой квадратичной формы являются функциями от и - криволинейных координат на поверхности.

Что можно вычислить с помощью первой квадратичной формы?

1. Длина кривой на поверхности.

Рассмотрим линию на поверхности . Пусть . Тогда . Продифференцируем это тождество по : . Вычислим длину кривой .



2. Угол между кривыми на поверхности.

Пусть и две гладкие кривые поверхности , проходящие через точку М.




Углом между кривыми и в точке М называется угол между их касательными векторами в этой точке.

Рассмотрим касательные векторы и этих кривых в точке М. Умножим первый вектор на ненулевое число , а другой на ненулевое число . Получим опять касательные векторы и этих кривых. Разложим эти векторы по базису : . Обозначим угол между кривыми и через и вычислим .

Если, в частности, - линия (то есть , ), - линия (то есть , ), то .

Вывод: координатная сеть ортогональна тогда и только тогда, когда .

3. Площадь поверхности.

Пусть - гладкая поверхность. Разобьем область прямыми параллельными координатным осям . Этим прямым на поверхности будет соответствовать координатная сеть. Пусть - прямоугольник в ; ему соответствует криволинейный прямоугольник на поверхности . Он мало отличается от параллелограмма со сторонами и . Площадь параллелограмма равна . Тогда площадь поверхности . Переходя к пределу, получим .




Итак, .



Похожие:

Первая квадратичная форма поверхности iconРешение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид
Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги. Угол между кривыми на поверхности
Первая квадратичная форма поверхности icon§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности
Рассмотрим гладкую кривую на поверхности. При перемещении точки м вдоль кривой ее касательный вектор раскладывается по базисным векторам...
Первая квадратичная форма поверхности iconСеминар 11. Доказать, что винтовая поверхность локально изометрична поверхности вращения
Поверхность, первая квадратичная форма которой может быть приведена к виду, где некоторые скалярные функции, называется поверхностью...
Первая квадратичная форма поверхности icon§16. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности
Биекция переведет ее в линию на поверхности. Будем называть эту линию линией поверхности. Аналогично вводится понятие линии поверхности....
Первая квадратичная форма поверхности iconВнутренняя геометрия поверхности
К внутренней геометрии поверхности относятся такие свойства этой поверхности и фигур на ней, которые определяются только первой квадратичной...
Первая квадратичная форма поверхности iconКасательная плоскость и нормаль
Зададим функции. Потребуем, чтобы функции были гладкими и производные и не обращались в нуль одновременно на промежутке. Подставим...
Первая квадратичная форма поверхности iconКосмические объекты: Солнце
Ускорение свободного падения на поверхности Солнца составляет 273,98 м/се Вторая космическая скорость на поверхности Солнца равна...
Первая квадратичная форма поверхности iconПрактикум безопасность жизнедеятельности
...
Первая квадратичная форма поверхности icon«Центр диагностики и консультирования»
Вот уже от него пахнет табачным дымом. Первая сигарета, первая баночка пива, первая затяжка марихуаной… а родители недоумевают, как...
Первая квадратичная форма поверхности icon§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности
Определение. Главные направления индикатрисы Дюпена в точке м называются главными направлениями поверхности в этой точке
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sov.opredelim.com 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы